Prof. Dr. Erik Jacobson

FH-FFM, Fb MND

Formelsammlung Physik

Mathematische Grundlagen

Vektorrechnung

3-dimensional: r⃗ = (r_{x}, r_{y}, r_{z}) = (x, y, z) Betrag (Länge): r = |r⃗| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} . .2-dimensional: r⃗ = (x, y) r = |r⃗| = \sqrt{x^{2} + y^{2}} (Pythagoras) Komponenten: x = r · cos φ und y = r · sin φ

Addition: a⃗ + b⃗ = (a_{x} + b_{x}, a_{y} + b_{y}, a_{z} + b_{z}) Skalarprodukt (3-dim): a⃗ · b⃗ = (a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}) Vektorprodukt (3-dim): a⃗ × b⃗ = (a_{y} b_{z} − a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} − a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} − a_{y} b_{x})

Infinitesimalrechnung

Differentialrechnung Ableitungen: \frac{d}{dx}x^{n} = \frac{dx^{n}}{dx} = n · x^{n−1} (für n ≠ 0) \frac{d}{dx}sin(x) = cos(x) \frac{d}{dx}cos(x) = −sin(x) \frac{d}{dx}e^{x} = e^{x} \frac{d}{dx}ln(x) = 1/x Kettenregel: \frac{d}{dx}g(f(x)) = \frac{d g(f(x))}{dx} = \frac{d g(y)}{dy} · \frac{d f(x)}{dx} Produktregel: \frac{d}{dx}(f(x)·g(x)) = \frac{df(x)}{dx} ·g(x)+f(x)· \frac{dg(x)}{dx}. .Integralrechnung Integrale (Stammfunktionen): ∫ x^{n}dx = x^{n+1}/(n + 1) (für n ≠ −1) ∫ sin(x)dx = −cos(x) ∫ cos(x)dx = sin(x) ∫ e^{x}dx = e^{x} ∫ 1/x dx = ln(x)

1 Mechanik eines Massenpunktes

Massenpunkt := Körper mit verschwindender Ausdehnung und endlicher Masse m

1.1 Kinematik der Translation

Beschreibung der Bewegung

1.1.1 Bewegungsgrößen

Ort = Ortsvektor r⃗
Geschwindigkeit v⃗ = \frac{dr⃗}{dt} = ˙ r⃗
Beschleunigung  a⃗ = \frac{dr⃗}{dt} = ˙ v⃗ = \frac{d^{2}r⃗}{dt^{2}} = ¨ r⃗

Bahn = Folge von Orten im Laufe der Zeit r⃗(t)

Bahnkurve = (parametrisierte) Funktion: y = f(x)

Bahntangente = Geschwindigkeitsrichtung

Verschiebung = Ortsänderung = r⃗(t_{2}) − r⃗(t_{1})

Weg s (skalar) ≠ Verschiebung s = ∫ |ds⃗| = ∫ \sqrt{dx^{2} + dy^{2} + dz^{2}} = ∫ |v(t)|dt

1.1.2 Bewegungsgleichungen In der üblichen Näherung a = const

r⃗(t) = r⃗_{0} + v⃗ · t + \frac{1}{2}a⃗ · t^{2} ⟹  .  . x = x_{0} + v_{x} · t + \frac{1}{2}a_{x} · t^{2} ; y = y_{0} + v_{y} · t + \frac{1}{2}a_{y} · t^{2} ; z = z_{0} + v_{z} · t + \frac{1}{2}a_{z} · t^{2}

{v⃗(t) = v⃗_{0} + a⃗ · t \atop a⃗(t) = const}

Anwendungen

- geradlinige gleichförmige Bewegung (v = v_{0} = const, a = 0): … r⃗ = x = s = x_{0}+v_{0}·t

- geradlinige gleichmäßig beschleunigte Bewegung (a_{0} = const):

. … r⃗ = x = s = x_{0} + v_{0} · t + a_{0} · t^{2} z.B. freier Fall: a_{0} = −g … r⃗ = y

- (schiefer) Wurf (Bahnkurve = Wurfparabel): mit a_{x} = 0, a_{y} = −g … r⃗ = (x, y)

- allgemeine Bewegung a⃗ = a⃗(t) … r⃗ = ∑ c⃗_{n} · t^{n} 1.1.3 Relativbewegungen

a) Klassische Inertialsysteme (Systeme ohne Beschleunigungen): eine gleichförmige Bewegung r⃗(t) = r⃗_{0}+v⃗ t in einem gleichförmig (mit v⃗_{0} ≠ 0) bewegten Bezugssystem erscheint einem Beobachter in einem anderen (ruhenden) Bezugssystem wieder als gleichförmige Bewegung r⃗′(t) = r⃗_{0} ′+v⃗_{0} ′·t , die sich durch eine Translations-Transformation (nach Galilei) berechnen läßt:

r⃗′(t) = r⃗_{0} ′ + v⃗_{0} ′ · t = r⃗_{0} + v⃗ t − v⃗_{0} · t

v⃗′ = v⃗ − v⃗_{0}

b) Spezielle Relativitätstheorie: (Einstein) alle Geschwindigkeiten v < c_{0} (Lichtgeschwindigkeit ≈ 3 · 10^{8} m/s) Translations-Transformation (nach Lorentz) mit Zeit-Transformation (t → t′):

{r⃗′(t′) = (r⃗(t) − v⃗_{0} · t)/γ \atop v⃗′ = (v⃗ − v⃗_{0})/(1 + \frac{v⃗·v⃗_{0}}{c_{0}^{2}} )}  t′ = (t − \frac{v⃗_{0}·r⃗}{c_{0}^{2}})/γ  γ = \sqrt{1 − \frac{v_{0}^{2}}{c_{0}^{2}}}

c) relativistische Effekte (Folgen, wenn v_{0} oder v gegen c geht):

- Zeitdilatation: Δt = Δt′/γ und ! Δt′ = Δt/γ

- Längenkontraktion: Δl = Δl′ · γ und ! Δl′ = Δl · γ (falls Δ⃗l ∥ v⃗_{0})

- Massenzunahme: m = m′/γ

- (kinetische) Gesamtenergie: E = m c^{2}

1.2 Kinematik der Rotation

Kreisbewegung (um den Ursprung) Kreisbahn: x^{2} + y^{2} = r^{2} Ort = Ortsvektor: r⃗(t) = (x, y) Radius r = |r| = const Koordinaten: x = r cos(φ), y = r sin(φ) Winkel: φ = s/r [ φ ] = 1 m/m = 1 rad = \frac{360^{0}}{2π} ≈ 57, 3^{0} Weg: s = r · φ (skalar !)

1.2.1 Bewegungsgrößen

Winkel  : φ = s/r = φ(t)
Winkelgeschwindigkeit: ω = φ̇
Winkelbeschleunigung : α = ω̇ = φ̈

1.2.2 Bewegungsgleichungen

φ⃗(t) = φ⃗_{0} + ω⃗ · t + \frac{1}{2} α⃗ · t^{2} ; ω⃗(t) = ω⃗_{0} + α⃗ · t ; α⃗(t) = const

Axiale Vektoren φ⃗ ∥ ω⃗ ∥ α⃗ auf der Drehachse 1.2.3 Winkelgeschwindigkeit

ω = \frac{dϕ}{dt} = φ̇ Dreibein: v⃗ = ω⃗ × r⃗

Spezialfall: gleichförmige Drehbewegung ω = const Umlaufszeit: T = 2π/ω = const (Umlaufs)frequenz: f = 1/T = ω/2π = const Drehzahl: n = f (Maßeinheit 1/min) Kreisfrequenz: ω = 2 π f (Bahn)geschwindigkeit: |v| = ω r = const

1.2.4 Radialbeschleunigung

r⃗(t) ≠ const → Zentripetal-, Radialbeschleunigung a⃗_{r} = ω⃗ × v⃗ = −ω^{2}r⃗

1.2.5 Winkelbeschleunigung

α = \frac{dω}{dt} = ω̇ = \frac{d^{2}φ}{dt^{2}} = φ̈

|ω| = ω_{0} + α t ≠ const → Bahnbeschleunigung a⃗_{t} = α⃗ × r⃗ Radialbeschleunigung a_{r} = ω^{2} r = (ω_{0} + α t)^{2} r = a(t)

1.2.6 Translation und Rotation

Rotation  Translation  Beziehung
Winkel φ  Weg s  s = φ · r
Winkelgeschwindigkeit ω = φ̇  Geschwindigkeit v = ṡ v⃗ = ω⃗ × r⃗
Winkelbeschleunigung α = ω̇ = φ̈ Beschleunigung a = v̇ a⃗_{t} = α⃗ × r⃗
a⃗_{r} = ω⃗ × v⃗

1.2.7 Gesamtbeschleunigung

a⃗ = \frac{dv⃗}{dt} = \frac{d(ω⃗×r⃗)}{dt} = \frac{dω⃗}{dt} × r⃗ + ω⃗ × \frac{dr⃗}{dt} = α⃗ × r⃗ + ω⃗ × v⃗ = a⃗_{t} + a⃗_{r}

1.2.8 Überlagerung von Translation und Rotation

Translation einer Achse (r⃗_{A}) und einer Rotation um diese Achse (r⃗_{R})

Superposition: r⃗ = r⃗_{A} + r⃗_{R} Krumme Bahnen: Bahnstücke ds aus Kreisbögen mit variablen Radien R

\frac{1}{R} = \sqrt{(\frac{d^{2}x}{ds^{2}})^{2} + (\frac{d^{2}y}{ds^{2}} )^{2} + (\frac{d^{2}z}{ds^{2}} )^{2}}

Erik Jacobson: Formelsammlung Physik 5

1.3 Dynamik

Dynamik eines Massenpunktes 1.3.1 Erstes Newton’sches Axiom (Trägheitsprinzip) Beharrungsvermögen: “Jeder Körper ist träge“ a⃗ = 0 ↔ F⃗ = 0 1.3.2 Zweites Newton’sches Axiom (Aktionsprinzip)

F⃗ = m · a⃗ [F] = 1N = 1\frac{kg m}{s^{2}}

1.3.3 Drittes Newton’sches Axiom (Reaktionsprinzip)

F⃗ = −F⃗ ′ oder ∑ F⃗ = 0

1.3.4 Träge Masse und Schwere Masse Träge Masse: F⃗_{t} = m · a⃗ (nur bei Beschleunigung) Schwere Masse: F⃗_{g} = m · g⃗ (erzeugt durch Erdanziehung bzw. Gravitation) 1.3.5 Kräfte als Vektoren ∑ F⃗_{i} = F⃗ (Vektoraddition) 1.3.6 Arten von Kräften

a) Schwerkraft (Massenanziehung der Erde): G⃗ = F⃗_{g} = m g⃗ Auf der Schiefen Ebene: Hangabtriebskraft F_{H} und Auflagekraft F_{N} (Normalkraft)

b) Muskelkraft nicht berechenbar

c) Federkraft (Hooke’sches Gesetz) F⃗_{F} = −Dy⃗

d) Verformungskraft schwer berechenbar (s. Elastomechanik)

e) Elektromagnetische Kräfte (s. Elektrodynamik)

f) Reibungskräfte 1.3.7 Reibung Trockene Reibung fester Körper F_{R} = μ F_{N} (μ ist materialabhngig, meist < 1)

a) Gleitreibung F⃗_{R} = −μ |F_{N}|\frac{v⃗}{v}

b) Haftreibung F⃗_{R} = −μ_{H} |F_{N}|\frac{v⃗}{v} e^{( \frac{v}{v_{0}} )^{2}}

c) Rollreibung F⃗_{R} = −μ_{R} |F_{N}|\frac{v⃗}{v}  μ_{R} = f_{r}/r  (r = Rollradius)

1.3.8 Trägheit

Trägheitskraft F⃗_{t} = −m a⃗

Dynamisches Gleichgewicht: ∑_{j} F⃗_{j} = ∑_{i} F⃗_{i} − m a⃗ = 0  ∑_{j} F⃗_{j} = 0

1.3.9 Zwangs- und Führungskräfte

Auflagekraft: F⃗_{Z} = −F⃗_{g} Normalkraft: F⃗_{Z} = −F⃗_{N} Seilkraft (bei Rotation): F⃗_{Z} = F⃗_{s} = −m a⃗_{R}

1.4 Arbeit und Energie

1.4.1 Arbeit

W := ∫ F⃗ ds⃗ Maßeinheit [W] = [F][s] = 1N m = 1J = 1Joule

W = F⃗ · s⃗ = F · s · cosα falls F⃗ = const

1.4.2 Arbeitsformen

a) Hubarbeit  W_{H} = m g Δh (wegunabhängig)
b) Beschleunigungsarbeit W_{B} = m a⃗ s⃗ = \frac{1}{2}m(v_{2}^{2} − v_{1}^{2}) (zeitunabhängig)
c) Reibungsarbeit  W_{R} = μ |F_{N}| s
d) Spannarbeit  W_{S} = \frac{1}{2}D (s_{2}^{2} − s_{1}^{2})
e) Zwangsarbeit  W_{Z} = F⃗_{Z} s⃗ = 0 da F⃗_{Z}⊥s⃗

1.4.3 Energie Energie = gespeicherte Arbeit Energie = ∑ Arbeit Arbeit = Δ Energie Arbeit = Energieänderung

1.4.4 Energieformen

a) Potentielle Energie (Lageenergie)  W_{pot} = m g h

(Bezugspunkt h = 0 ist (noch) undefiniert)

b) Kinetische Energie (Bewegungseneregie)  W_{kin} = \frac{1}{2}m v^{2} (immer positiv)
c) Federenergie (elastische Energie)  W_{F} = \frac{1}{2}D s^{2} (immer positiv)

c) Reibungsenergie = Wärme (s. Thermodynamik) W_{R} = ΔQ Erik Jacobson: Formelsammlung Physik 7 1.4.5 Energieerhaltungssatz ∑_{j} W_{i} = const (im abgeschlossenen System) praktisch: W_{a} + W_{A} = W_{e} + ΔQ (Anfangsenergie + Arbeit = Endenergie + Wärme) Wirkunggrad = \frac{nutzbare Energie}{aufgewandte Arbeit} η = \frac{W_{end}}{W_{end}+ΔQ} = 1 − \frac{ΔQ}{W_{ges}} < 1

1.4.6 Leistung

P := \frac{dW}{dt} Maßeinheit [P] = [W]/[t] = 1J/s = 1W

P = F⃗ · v⃗

1.4.7 Energieumwandlung E = m c^{2} (Einstein 1909)

1.5 Der Impuls

1.5.1 Kraftstoß

K⃗ := ∫ F⃗ dt = m Δv⃗ Maßeinheit [W] = [F][s] = 1N m = 1J = 1Joule

1.5.2 Impuls und Kraft

a) Definition des Impulses

p⃗ := m v⃗ Maßeinheit [p] = [F][t] = [m][v] = 1N s = 1kg m/s

b) verallgemeinerte Definition der Kraft

F⃗ := \frac{p⃗}{dt} F⃗ = \frac{p⃗}{dt} = \frac{m v⃗}{dt} = m a⃗ + v⃗_{m} ṁ

c) Schubkraft = Rückstoß (propellere)

F⃗_{p} = −v⃗_{m} ṁ

1.5.3 Impulserhaltung ∑_{i} p⃗_{i} = const (im abgeschlossenen System)

1.5.4 Stoßgesetze

Anwendung von: I: Impulserhaltungssatz: ∑_{i} p⃗_{i} = const E: Energieerhaltungssatz: ∑_{i} W_{i} = const

a) Zentraler elastischer Stoß

(ΔQ = min = 0) ; u⃗_{1} = \frac{m_{1}−m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v⃗_{1} + \frac{2m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v⃗_{2} ; u⃗_{2} = \frac{m_{2}−m_{1}}{m_{2}+m_{1}} v⃗_{2} + \frac{2m_{1}}{m_{2}+m_{1}} v⃗_{1}  . .Spezialfälle: m_{1} = m_{2} = m : u⃗_{1} = v⃗_{2}  u⃗_{2} = v⃗_{1} m_{1} ≫ m_{2} = m und v⃗_{2} = 0: u⃗_{1} = −v⃗_{1}

b) Zentraler inelastischer Stoß (ΔQ = max = ΔQ_{m})

u_{1} = u_{2} = u = \frac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}

ΔQ_{m} = \frac{1}{2} \frac{m_{1}·m_{2}}{m_{1}+m_{2}} (v_{1} − v_{2})^{2}

c) Zentraler teilelastischer Stoß (ΔQ < ΔQ_{m}) Elastizitätsparameter k (0 für inelastischen, 1 für vollelastischen Stoß) ū_{1} = k · u_{1} + (1 − k) · u = u_{1} + (1 − q)\frac{m_{2}(v_{1}−v_{2})}{m_{1}+m_{2}} q = (1 − k) ū_{2} = k · u_{2} + (1 − k) · u = u_{2} + (1 − q)\frac{m_{1}(v_{2}−v_{1})}{m_{2}+m_{1}} k = (1 − q) \overline{ΔQ} = (1 − k^{2}) · ΔQ_{m} = q(2 − q) · ΔQ_{m}

d) Dezentrale Stöße: 2-dimensional in der Ebene von v⃗_{1} und v⃗_{2}

1. Methode: Zerlegung durch Projektion auf:

– Stoßtangente t⃗ ohne Kraftwirkung, d.h. mit Erhaltung der Geschwindigkeitskomponenten v_{1t} und v_{2t}

– Stoßgerade s⃗ mit Anwendung der Stoßgesetze auf v_{1s} und v_{2s}

2. Methode: Translationstransformation auf v⃗_{2} = 0 und Betrachtung der möglichen Impulsvektoren auf Ortskreisen:

Y^{2} + (X − \frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} p_{1})^{2} = R^{2} = (\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}} p_{1})^{2}(1 − (1 − k^{2}))

1.5.5 Anwendungen

- Ballistisches Pendel

- Hammer

- Reflexion als elastischer Wandstoß (m_{2} → ∞)

2 Mechanik starrer Körper

2.1 Statik starrer Körper

2.1.1 Starre Körper System aus Massenpunkten m_{i} mit festen Abständen r⃗_{ij} = r⃗_{i} − r⃗_{j} = const

2.1.2 Masse und Volumen Jeder Körper hat eine Masse m (skalar) Maßeinheit: 1kg Jeder Körper besteht aus Teilchen (Atomen, Molekülen) m = ∑^{N} m_{i} (N ≈ 10^{23}) Volumen: Jeder Körper hat eine Ausdehnung (Volumen V) Maßeinheit: [V] = m^{3} Dichte: Jeder Körper hat eine (Packungs)Dichte ρ Maßeinheit: [ρ] = 1kg/m^{3}

ρ := dm/dV homogene Körper: ρ = m/V = const

m = ∫_{K} ρdV

2.1.3 Elastomechanik Elastizitätskonstanten deformierbarer Körper

– E: Elastizitätsmodul  Δl = −F_{l} · l/A_{0} · E
– μ: Querkontraktionszahl  Δz = −μ · Δl μ < 1/2
– K: Kompressionsmodul  K = \frac{E}{3(1−2μ)}
– G: Schubmodul  G = \frac{E}{2(1+μ)}

2.1.4 Drehmoment und Hebelgesetze Gleichgewicht am Hebel, wenn ∑ F_{i} · r_{i} · sin α_{i} = 0 Hebelgesetz: ∑ M⃗_{i} = 0 Drehmoment: M⃗ := r⃗ × F⃗ Betrag M = r · F · sin α Maßeinheit: [M] = 1 N m axsialer Vektor ! (an (Rotations)Achse gebunden)

2.1.5 Schwerpunkt, Massenmittelpunkt

s⃗ = \frac{1}{m} ∑ m_{i}r⃗_{i} = \frac{1}{m} ∫ r⃗dm ∑ m_{i}s⃗_{i} = 0 s⃗ = \frac{1}{V} ∫ r⃗dV (falls ρ = const)

2.2 Kräfte am starren Körper

2.2.1 Kräfte und Drehmomente Mehrere Kräfte F⃗_{i}, die an verschiedenen Punkten eines Körpers angreifen, ergeben F⃗ = ∑ F⃗_{i} . .eine Gesamtkraft (durch Verschieben (der polaren Vektoren) an einen beliebigen Punkt)

M⃗ = ∑ M⃗_{i} = ∑ r⃗_{i} × F⃗_{i} . .ein Drehmoment in Bezug auf eine vorgegebene Achse (axiale Vektoren)

2.2.2 Gleichgewichte und Standfestigkeit

stabil:  W_{pot} = min
labil:  W_{pot} = max
indifferent: W_{pot} = const
instabil:  a ≠ 0

2.2.3 Trägheit bei der Drehbewegung Massenträgheitsmoment und Rotationsenergie

J := ∑ m_{i}r_{i}^{2} = ∫_{K} r^{2}dm  W_{rot} := \frac{1}{2}J ω^{2}

2.2.4 Massenträgheitsmomente Rotation um eine Achse durch den Schwerpunkt

Quader  J_{z} = \frac{m}{12}(a^{2} + b^{2})
Kugel  J_{K} = \frac{2m}{5}R^{2}
Hohlzylinder  J_{z} = \frac{m}{2}(R_{1}^{2} + R_{2}^{2})
Vollzylinder (quer) J_{q} = \frac{m}{12}(L^{2} + 3R^{2})

2.2.5 Satz von Steiner J := ms^{2} + J_{s} Verschiebung der Achse aus dem Schwerpunkt um s

2.2.6 Trägheitstensor Hauptträgheitsmomente J_{zz} = max und J_{yy} = med und J_{xx} = min bezüglich der körperfesten Hauptträgheitsachsen (x, y, z) (Diagonalelemente) Deviationsmomente J_{xy} = ∑ m_{i}x_{i}y_{i} = ∫ xy dm

Bei Verdrehung der Achse um α, β, γ wird J := J_{xx}cos^{2}α + J_{yy}cos^{2}β + J_{zz}cos^{2}γ

2.2.7 Trägheitsradius und Trägheitsmasse Trägheitsradius: R_{t} = \sqrt{J/m} effektive Trägheitsmasse: m_{e} = J/R^{2} Erik Jacobson: Formelsammlung Physik 11

2.3 Dynamik starrer Körper

2.3.1 Antrieb ; M⃗ := J α⃗  .  .2.3.2 Arbeit ; W_{D} = ∫ M dφ
2.3.3 Drehimpuls L⃗ := mr⃗ × v⃗ L⃗ := Jω⃗  .  .2.3.4 Leistung P = Mω

2.3.5 Drehimpulserhaltung L⃗ = const und M⃗ = 0 im abgeschlossenen System

2.3.6 Drehimpulserzeugung M⃗ = \frac{dL⃗}{dt} = \frac{dJ}{dt} ω⃗ + J \frac{dω⃗}{dt}  .  .2.3.7 Anwendungen Drallsatz: L⃗ = M⃗t

2.3.8 Der Kreisel Symmetrischer freier Kreisel mit (konstanter) Winkelgeschwindigkeit ω

a) M⃗ = 0  ⟶  L⃗ = Jω⃗ = const  momentenfreier Kreisel
b) M⃗ ≠ 0  ⟶  M⃗ = ω⃗_{p} × L⃗  Präzession mit Präzessionsfrequenz ω_{p}

c) Ausweichmoment Bei erzwungener Drehung der Achse eines Kreisels M⃗_{A} = L⃗ × ω⃗_{A}

d) Nutation Nach Stoß auf die Achse eines Kreisels K_{M} = ∫ M_{x}dt = L_{x}

ω_{n} = \frac{J_{zz}}{\sqrt{J_{xx}J_{yy}}} ω

2.4 Scheinkräfte in rotierenden Systemen

2.4.1 Zentrifugalkraft

F⃗_{ZF} = −F⃗_{Z} = mα⃗_{R} = mω^{2}r⃗

2.4.2 Coriolis-Kraft

F⃗_{C} = ma⃗_{C} = 2mu⃗ × ω⃗

2.5 Gravitation

2.5.1 Gravitationsgesetz

F⃗_{G} = γ \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}} \frac{r⃗}{|r|} Massenanziehung (Newton 1687) γ = 6.67 10^{−11} \frac{m^{3}}{kg s^{2}} (Cavendish)

F⃗_{g} = mg = mγ \frac{m_{E}}{r_{E}^{2}} auf der Erdoberfläche (mit m_{E} = 5.9 10^{24}kg und r_{E} = 6366km)

Satellitenbahnen (um die Erde) v^{2}r = ω^{2} · r^{3} = γm_{E} (weil F_{G} = F_{ZF})

T = 2π\sqrt{\frac{r^{3}}{γm_{E}}} Umlaufszeit

Fluchtgeschwindigkeiten (Abheben von der Erde ohne Erdrotation) v_{0} = \sqrt{γm_{E}/r_{E}} = \sqrt{gr_{E}} = 7.9 10^{3} \frac{m}{s}

1. kosmische Geschwindigkeit: (Verlassen des Anziehungsbereichs der Erde) v_{1} = \sqrt{2γm_{E}/r_{E}} = \sqrt{2gr_{E}} = 11.17 10^{3} \frac{m}{s} 2. kosmische Geschwindigkeit: (Verlassen des Anziehungsbereichs der Sonne aus der Erdbahn)

2.5.2 Kepler-Gesetze

Kepler (1609)

1. Die Planeten bewegen sich auf Kreisen (genauer: Ellipsen), in deren Mittelpunkt (genauer: in einem Brennpunkt) die Sonne steht.

2. Der von der Sonne zu einem Planten gedachte Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (ΔA = Δt).

3. Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen ihrer Abstände (große Halbachsen) zur Sonne. \frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}} = \frac{r_{1}^{3}}{r_{2}^{3}}

2.5.3 Gravitationsfeld und -potential

Gravitationsfeldstärke g := F_{G}/m = g⃗(r⃗)

Gravitationsfeld der Erde:  .  .{g(r) = γ \frac{m_{E}}{r^{2}} = g_{0}(\frac{r_{E}}{r})^{2}  für r > r_{E} \atop g(r) = γ \frac{m_{E}}{r_{E}^{3}} r = g_{0}(\frac{r}{r_{E}})  für r < r_{E}}

Gravitationspotential φ_{g} := W_{pot}/m absolute potentielle Energie: W_{pot} = mφ_{g}(r) = ∫ mg(r) dr = −γmm_{E}/r = −mg_{0}r_{E}^{2}/r (immer negativ !!) Gravitationsnullpunkt: φ_{g} := 0 bei r → ∞

Gravitationspotential der Erde: .  .φ_{g} := −γm_{E} \frac{1}{r}  Hyperbel für r > r_{E} φ_{g} := \frac{1}{2}γ \frac{m_{E}}{r_{E}} ((\frac{r}{r_{E}})^{2} − 3) Parabel für r < r_{E}

g⃗(r⃗) := grad(φ_{g}) = (\frac{dφ_{g}}{dx} , \frac{dφ_{g}}{dy} , \frac{dφ_{g}}{dz}) = g⃗(r) (Zentralfeld)

Inhaltsverzeichnis

1 Mechanik eines Massenpunktes 2

1.1 Kinematik der Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Bewegungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Relativbewegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Kinematik der Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Bewegungsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3 Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.4 Radialbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.5 Winkelbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.6 Translation und Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.7 Gesamtbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.8 Überlagerung von Translation und Rotation . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Erstes Newton’sches Axiom (Trägheitsprinzip) . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Zweites Newton’sches Axiom (Aktionsprinzip) . . . . . . . . . . . 5 1.3.3 Drittes Newton’sches Axiom (Reaktionsprinzip) . . . . . . . . . . 5 1.3.4 Träge Masse und Schwere Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.5 Kräfte als Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.6 Arten von Kräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.7 Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.8 Trägheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.9 Zwangs- und Führungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Arbeit und Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.1 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.2 Arbeitsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.3 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.4 Energieformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.5 Energieerhaltungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.6 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4.7 Energieumwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Der Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.1 Kraftstoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.2 Impuls und Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.3 Impulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.4 Stoßgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5.5 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Mechanik starrer Körper 9

2.1 Statik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Starre Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Masse und Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.3 Elastomechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.4 Drehmoment und Hebelgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.5 Schwerpunkt, Massenmittelpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Kräfte am starren Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.1 Kräfte und Drehmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.2 Gleichgewichte und Standfestigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.3 Trägheit bei der Drehbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.4 Massenträgheitsmomente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.5 Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.6 Trägheitstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.7 Trägheitsradius und Trägheitsmasse . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Dynamik starrer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.1 Antrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.2 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.3 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.4 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.5 Drehimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.6 Drehimpulserzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.7 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3.8 Der Kreisel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Scheinkräfte in rotierenden Systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4.1 Zentrifugalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4.2 Coriolis-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5.1 Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5.2 Kepler-Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.5.3 Gravitationsfeld und -potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12